Matemática Essencial

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1 Introdução ao conceito de derivada

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais ideias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto $P$ de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto $P$ e é perpendicular ao segmento $OP$, como vemos na figura ao lado.

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto $P$ sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto $P$. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto $Q$. Na segunda figura, a curva está muito achatada perto do ponto $P$ e a suposta reta tangente toca a curva em mais do que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto $Q$.

2 A derivada do ponto de vista geométrico

Para obter uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que melhor aproxima o gráfico de $f$ nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Seja a curva que é o gráfico de uma função contínua $f$. $x_0$ e $f(x_0)$ são as coordenadas do ponto $P$ onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora um outro ponto $Q$ do gráfico de $f$, descrito por $(x_0+h,f(x_0+h))$, onde $h$ é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto $P$ ao ponto (Q$. A reta que passa por $P$ e $Q$ é secante à curva $y=f(x)$.

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de $f$ com respeito à variável $x), no ponto $x_0$:

Se $P$ é um ponto fixado e $Q$ um ponto que se aproxima de $P$, ocupando as posições sucessivas $Q_1$, $Q_2$, $Q_3,\cdots$, as secantes ocupam as posições por $PQ_1$, $PQ_2$, $PQ_3,\cdots$ e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficam cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito $k$, à medida que o ponto $Q$ se aproxima do ponto $P$, independentemente do fato que a abscissa de $Q$ seja maior ou menor do que a abscissa de $P$, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de $0$ no ponto $P$, como sendo aquela que passa por $P$ e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a $k$.

O recurso analítico para fazer $Q$ se aproximar de $P$, consiste em fazer o número $h$ tender a zero, isto é, tomar os valores de $h$ arbitrariamente próximos de $0$.

Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos $Q_j$ está se aproximando do ponto $P$ pela direita (pela esquerda).

Quando $h\to 0$ e a razão incremental se aproxima do valor finito $k$, dizemos que $k$ é o limite da razão incremental com $h$ tendendo a zero e denotamos isto por:

O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função $f$ é contínua no ponto $x=x_0$, então a reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $P=(x_0,f(x_0))$, é dada por:

Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função $f(x)=x^2$. O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto $P=(1,1)$, é:

A reta tangente à curva $y=x^2$ no ponto $P=(1,1)$ é $y=2x-1$.

3 Derivada de uma função real

Quando $h\to 0$ ($h\neq 0$) e o quociente de Newton no ponto $x_0$ se aproxima de um valor finito $k$, dizemos que este número $k$ é a derivada de $f$ no ponto $x_0$, denotando este fato por:

desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de $f$ em $x_0$. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que $f$ é derivável (ou diferenciável) neste ponto.

Exemplo: A derivada da função $f(x)=x^3$ no ponto $x=1$, é dada por:

A derivada de $f(x)=x^3$ no ponto genérico $x=c$, é dada por:

A derivada de $f(x)=x^3$ é denotada por $f'(x)=3x^2$, pois

Reta normal ao gráfico de uma função: A reta normal a uma curva $y=f(x)$ em um ponto $P=(c,f(c))$, é a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto.

Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a $k_1$ e $k_2$, são perpendiculares, se o produto $k_1 k_2 =-1$, logo, se $k_1=f'(c)$, o coeficiente angular da reta normal é:

e a reta normal é dada por

Existem outras notações para a derivada de $y=f(x)$ com relação a $x$, como

mas, a mais comum é: $\dfrac{dy}{dx}$.

Notas: Se existe o limite, podemos escrever a derivada de outras formas.

1. Se $x_0$ é um ponto particular no domínio de $f$, então:
   $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
2. Se $x=x_0+\Delta x$ na última expressão e tomamos $\Delta x \to 0$, obtemos outra expressão equivalente para a derivada:
   $$f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
3. $\Delta x=x-x_0$ é a diferença na variável $x$ para cada análise fixa e representa a variação da variável $x$ quando fazemos uma análise do ponto de vista dinâmico. Por definição
   $$dx=\Delta x =x-x_0, \quad dy=\Delta y =\Delta f =f(x)-f(x_0)$$

4 Diferencial de uma função f

Nem sempre a diferença exata $\Delta f$ coincide com a variação dinâmica para $f$, definida como a diferencial de $f$, denotada por $df$. A diferencial de uma função contínua $f$ no ponto $x_0$ é definida por:

que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva $y=f(x)$ no ponto $P=(x_0,f(x_0))$ é:

Realizamos uma translação de todo o sistema para um novo sistema de coordenadas, cuja origem passa a ser o ponto $P=(x_0,f(x_0))$.

Usando $dx=x-x_0$ e $dy=y-f(x_0)$ temos um outro sistema em que as variáveis são $dx$ e $dy$, no lugar das variáveis antigas $x$ e $y$. Indicando a nova curva transladada por $y=f(x)$, obtemos a nova reta tangente a esta curva que passa pela origem $(0,0)$ do novo sistema.

A equação da reta tangente é dada por:

cuja inclinação coincide com a diferencial de $f$ no ponto $x_0$. A translação para a origem deste novo sistema, é essencial para entender o processo de linearização, fato muito comum na Matemática aplicada.

Este processo informa que, ampliando bastante a vizinhança do ponto $(x_0,f(x_0))$ (com um zoom-in) nas vizinhanças do ponto $P$, obtemos praticamente duas retas se tangenciando, como podemos observar na figura, em anexo.

5 Aplicações da diferencial a cálculos aproximados

1. Se o lado de um quadrado aumenta $3\%$, qual será o aumento aproximado da área do quadrado?
   Solução: A área do quadrado é dada por $A(x)=x^2$, assim a diferencial desta função será escrita como:
   $$dA = A'(x)dx = 2x dx$$
   pois $A'(x)=2x$ e $dx=3\%=0,03$. A área aumenta aproximadamente:
   $$dA = 2(0,03) = 0,06 x = 6\% \text{ de } x$$
2. Se a aresta de um cubo mede $x=10cm$, diminui $3\%$, qual é a diminuição aproximada do volume deste cubo?
   Solução: O volume do cubo é dado por $V(x)=x^3$, assim temos que $V'(x)=3x^2$ e a diferencial desta função é escrita como:
   $$dV = V'(x) dx = 3x^2 dx$$
   Como $x=10$ e $dx=3\%=0,03$, o volume do cubo diminui aproximadamente:
   $$dV = 3(10^2)(0,03) = 9 cm^3$$
3. Um triângulo tem dois lados que medem $2m$ e $3m$ formando um ângulo de $60\text{^0}$. Se o equipamento que mede o ângulo comete um erro de $1\%$, qual deve ser o erro aproximado no cálculo da área?
   Solução: Se $a$ e $b$ são as medidas dos lados de um triângulo que formam um ângulo medindo $x$, a área desse triângulo é dada por $A(x)=\frac12 ab\text{sen}(x)$. Assim:
   $$dA = \frac12 ab \cos(x) dx$$
   Como $x=60\text{^0} =(\pi/3)\text{rad}$, $a=2m$, $b=3m$ e $dx=1\%$ de $1\text{rad}$, então
   $$dA = \frac12 2(3)\cos(\pi/3)(0,01) = 0,015 m^2$$

6 Derivadas Laterais

Como a derivada de uma função $f$ em um ponto $p$ é um caso particular de limite, então tem sentido calcular os limites laterais abaixo, à esquerda e à direita em $p$:

Quando tais limites existem, eles são, respectivamente denominados, derivadas lateral de $f$ à esquerda em $p$ e derivada lateral de $f$ à direita no ponto $p$. Se ambos os limites existem e são iguais, dizemos que $f$ possui derivada no ponto $p$.

Função modular: A função modular (valor absoluto) definida por $f(x)=|x|$ tem derivada lateral à direita no ponto $x=0$ igual a $+1$ e derivada lateral à esquerda no ponto $x=0$ igual a $-1$, o que significa que tais derivadas laterais no mesmo ponto são diferentes. Para todo $x\neq 0$, as derivadas laterais à esquerda e à direita coincidem.

!

A função real definida por $g(x)=|x|^3$ tem derivadas laterais sempre iguais em cada ponto $x$ do seu domínio, o que significa que $g=g(x)$ possui derivada em todos os pontos de $R$.

7 Diferenciabilidade e Continuidade

Existem funções que não possuem derivada em um ponto, embora possam ter derivadas laterais à esquerda e à direita deste ponto e ser contínua neste ponto.

Exemplo: A função modular (valor absoluto) definida por $f(x)=|x|$, não tem derivada em $x=0$, mas:

1. $f$ é contínua em toda a reta;
2. A derivada lateral à direita é $f'(0_{+})=+1$;
3. A derivada lateral à esquerda é $f'(0_{-})=-1$.

Nota especial: O exemplo anterior mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de f em um ponto, garante a continuidade de f neste ponto.

Nota: Um termo comum na literatura sobre derivadas é a palavra suave. Dizemos que uma função derivável em um ponto é suave nas vizinhanças deste ponto, motivado pelo fato que, se o gráfico da função NÃO possui bicos, como a função modular, por exemplo, este fato implica na existência de derivadas laterais diferentes, garantindo que a função não tem derivada neste ponto.

8 Derivadas de algumas funções