1. Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:

   1. $r = 5\cm$
   2. $r = 3,5\cm$
   3. $r = 3k\cm$
   4. $r = \frac12 a\cm$

   Resposta 01

   1. raio = $5\cm$, comprimento = $10\pi\cm$
   2. raio = $\frac72\cm$, comprimento = $7\pi\cm$
   3. raio = $3k\cm$, comprimento = $6k\pi\cm$
   4. raio = $\frac12 a\cm$, comprimento = $a\pi\cm$

2. Uma roda gigante tem $8\m$ de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?

   Resposta 02

   $96\pi\m$

   .

3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de $66\m$.

   Resposta 03

   $r=5,5\pi\m$

4. Considere um quadrado de perímetro 4L.

   

   Calcular:

   1. O raio da circunferência inscrita neste quadrado.
   2. O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.

   Resposta 04

   
   1. O lado do quadrado mede $L$ e o raio $r$ da circunferência inscrita é a metade do lado, isto é $r=L/2$.
   2. O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do quadrado de lado $L$. Como $r^2=2(L/2)^2=\frac12 L^2$, então $r=\frac12 L \sqrt{2}$.

5. Qual é o comprimento da circunferência no plano cartesiano, se ela tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3).

   

   Resposta 05

   

   O raio $r$ da circunferência é a distância entre o centro $(2,1)$ e o ponto $(5,-3)$. O teorema de Pitágoras garante que $r^2=(5-2)^2+(-3-1)^2=25$, logo $r=5$. Assim, o (perímetro) comprimento da circunferência mede $p=2(5)(10)\pi=100\pi$.

6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio $r$ ou o diâmetro $d$.

   1. $r=3\cm$
   2. $d=3k\sqrt{2}\cm$
   3. $r=2\sqrt{3}\cm$
   4. $d=9\cm$

   Resposta 06

   1. $r= 3\cm, A=9 pi\cm^2$
   2. $d=3k\sqrt{2}\cm, A=-9k^2\pi\cm^2$
   3. $r= 2\sqrt{3}\cm, A=12\pi\cm^2$
   4. $d= a/2\cm, A=\frac{81}{4}\pi\cm^2$

7. Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10\cm e a outra com raio 6\cm.

   

   Resposta 07

   

   A região pintada de verde e sua área $A$ é a área do círculo maior menos a área do círculo menor, assim $A=\pi(R^2-r^2)=\pi(100-36)=64\pi\cm^2$.

8. Se os perímetros de dois círculos são proporcionais aa razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?

   Resposta 08

   A razão é 4:9

9. Qual é a área do círculo circunscrito a um triângulo equilátero cujo lado mede 18\cm?

   

   Resposta 09

   

   Na figura, $a$ é o apótema, $r$ é o raio e $h$ é a altura do triângulo. Então, $h=a+r$ e como $18^2=h^2+9^2$, segue que $h=\sqrt{324-81}=9\sqrt{3}$. Como $r^2=9^2+(h-r)^2=81+h^2-2hr+r^2$, logo $81+243-2(9)\sqrt{3} r=0$, assim $r=6\sqrt{3}$ e $A=\pi r^2=108\pi\cm^2$.

10. Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do círculo menor se a área do círculo maior é $27\pi\cm^2$?

    Resposta 10

    $A = 3\cm^2$

11. Um jardim de formato circular com $6\m$ de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?

    Resposta 11

    Largura = $(6-3\sqrt{2})\m$.

12. Um triângulo equilátero de perímetro igual a $18\cm$ está inscrito em uma circunferência.

    

    Calcular a área da região externa ao triângulo que está no interior da circunferência.

    Resposta 12

    

    A área da região é a área $A(C)$ do círculo menos a área $A(T)$ do triângulo. Se $a$ é o apótema, $r$ é o raio e $h$ é a altura do triângulo, então $h=a+r$. Assim: $6^2=h^2+3^2$, logo $h=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$ de onde segue que $r^2=3^2+(h-r)^2$ e $9+27-2(3)\sqrt{3}r=0$. Finalmentem $r=6\sqrt{3}/3$.

    1. $A(c) = \pi r^2=12\pi\cm^2$.
    2. $A(T) = 6\frac{h}{2}=6(3)\sqrt{3}/2 = 9\sqrt{3}\cm^2$.
    3. $A = A(C) - A(T) = (12\pi-9\sqrt{3})\cm^2$.

13. Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congruentes, isto é, têm a mesma medida.

    Resposta 13

    Dividir o hexágono em 6 triângulos com vértices no centro e mostrar que eles são equiláteros

14. Considere um hexágono regular cuja área é 48\sqrt{3}cm^2. Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

    

    Resposta 14

    

    O círculo inscrito no hexágono tem raio igual ao seu apótema e o círculo circunscrito ao hexágono tem raio igual ao seu raio $r$. Se $A_1$ e $A_2$ são as áreas dos círculos inscrito e circunscrito, respectivamente, e a razão entre as áreas é: $\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{\pi a^2}{\pi r^2}=\dfrac{a^2}{r^2}.$ A área do hexágono é $A=3(a)L=48\sqrt{3}$. O apótema é $a=48\sqrt{3}/3L$. Como o apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero, assim, $$a=-(L)\sqrt{3} =48\sqrt{3}/3L=-(L)\sqrt{3} L^2=\frac23(48)=32$$ logo $L=4\sqrt{2}\cm$. No hexágono regular $L=r$ e a razão entre as áreas é:

    $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{a^2}{r^2}=(\frac12 r\sqrt{3}/r)^2=(\sqrt{3}/2)^2=???3/4$$

15. Dado um hexágono regular com área $48k^2\sqrt{3}\cm^2$. Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

    Resposta 15

    A razão entre as áreas = 3/4.

16. As diagonais de um losango medem $18\cm$ e $24\cm$. Qual é a área do círculo inscrito neste losango?

    Resposta 16

    $A = 11,84\pi\cm^2$

17. Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus.

    

    Resposta 17

    Se $A$ é a área e $P$ é perímetro do setor circular, então

    1. $A=\dfrac{m(AB)\pi r^2}{360}=60\pi(12^2/360)=24\pi\cm^2$
    2. $P=\dfrac{m(AB)2\pi r}{360}+2r=60(2)\pi(12)/360+24=(4\pi+24)\cm$

18. Considere uma circunferência cujo raio mede $6\cm$.

    

    Calcular:

    1. A área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus.
    2. A área do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.

    Resposta 18

    1. A área do setor circular é: $A=\dfrac{m(A)\pi r^2}{360}=\dfrac{120\pi 6^2}{360}=12\pi\cm^2$
    2. A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo, assim, a área do triângulo é $A=6\sqrt{3}(3)/2=9\sqrt{3}\cm^2$, e a área do segmento é $A(s)=(12\pi-9\sqrt{3})\cm^2$.

19. Seja um triângulo equilátero cujo lado mede $2a$. Ao traçar arcos de circunferências de raio $a$, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como a da figura em anexo. Calcular a área desta região.

    

    Resposta 19

    A área desejada é a área do triângulo menos a soma das áreas dos três setores circulares. Se $2a$ é a medida do lado do triângulo, então, a área do triângulo é $A_T=(2a)^2\sqrt{3}/4=a^2\sqrt{3}$. Como a área do setor circular $A_S=60\pi$, segue que
    1. $ZZZ^2/360=\pi.a^2/6$.
    2. $A = a^2\sqrt{3}-3\pi a^2/6 = a^2(\sqrt{3}-\pi/2)$.

20. Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado.

    

    Mostrar que a soma $S(L)$ das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área $A(T)$ do triângulo.

    Resposta 20

    Se $a$ e $b$ são os catetos, $c$ a hipotenusa do triângulo e $Sa$, $Sb$ e $Sc$ os semicírculos de raios $a/2$, $b/2$ e $c/2$ respectivamente e $T$ o triângulo. Logo:
    1. Soma das áreas brancas = $A(Sc)-A(T)$.
    2. $S(L) = (A(Sa)+A(Sb) - A(Sc)+A(T)$.
    3. $A(Sc)=\pi(c/2)^2/2=\pi(a^2+b^2)/8$.
    4. $A(T)=ab/2$.
    5. Soma das áreas brancas = $\pi(a^2+b^2)/8-ab/2$.
    6. $A(Sa)=\pi(a/2)^2/2=\pi a^2/8$.
    7. $A(Sb)=\pi(b/2)^2/2=\pi b^2/8$.
    8. $S(L) = \pi(a^2+b^2)/8-(\pi(a^2+b^2)/8-ab/2)=ab/2$.
    9. $S(L) = A(T)$.

21. Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede $10\cm$. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado.

    

    Resposta 21

    A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área procurada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.

    $A(Sc)=\frac12\pi(10/2)^2=\frac{25}{2}\pi\cm^2$. $A(Q)=(10)^2=100\cm^2$.

    A área procurada é:

    $A = (4\frac{25}{2}\pi)-100=(50\pi-100)\cm^2$.

22. Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6\cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.

    

    Resposta 22

    $A = (27-\frac92\pi)\cm^2$

23. Dois círculos cujos raios medem $4\cm$ e $12\cm$, estão lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que contorna os dois círculos?

    

    Resposta 23

    

    Com a medida de $AB$ e as medidas dos ângulos $BED$ e $ADE$, segue que $DE=12+4=16\cm$ e $CE=12-4=8\cm$. Como $m(AB)=m(DC)$ e o triângulo retângulo $DCE$ tem ângulo reto em $C$, então: $(DC)^2=(DE)^2-(CE)^2$, logo $m(O_1C)=\sqrt{256-64} =8\sqrt{3}$. $\angle(BO_1O_2)=\arccos(8/16)=\arccos(\frac12)=60^\circ$. $\angle(BO_1O_2)+\angle(AO_1O_2)=180^\circ$ e $\angle(AO_1O_2)=180^\circ-60^\circ = 120^\circ$ e a medida da correia é $m=m(EA)+AB+m(BF)$. $m(EA)=-\pi(4)^2-m(AG)=-\pi(16)-120\pi(4^2)/360=8\pi-8/3\pi\frac{16}{3}\pi$. $m(BF)=-\pi(12^2)-m(BF)=-\pi(144)-60\pi(12^2)/360=72\pi-24\pi=48\pi$ e a medida da correia é $m=2(16\pi/3+8\sqrt{3}+48\pi)=(128\pi+16\sqrt{3})\cm$.

24. Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo $3\cm$ e $2\cm$, respectivamente, e a medida $m(OO')=13\cm$. Se a reta $t$ é uma tangente comum aas duas circunferências nos pontos $A$ e $B$, calcular a medida do segmento $AB$.

    

    Resposta 24

    Seja a reta que passa por $CO'$ paralela a reta tangente $t$. O triângulo $OO'C$ é retângulo, pois o raio da circunferência é perpendicular aa reta tangente $t$ no ponto de tangência. Pelo teorema de Pitágoras, temos: $(CO')^2 = (OO')^2-(OC)^2$, logo $(CO')^2 = (13)^2 - 5^2 = 144$, assim $CO' = 12$. Como $CO'$e $AB$ são congruentes, segue que $AB=12\cm$.

25. Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo tem o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior.

    

    Resposta 25

    $A = \frac14\pi r^2$ unidades quadradas.

Atualizada por Ulysses Sodré
Londrina-PR, 29-julho-2020